Доказуемость аксиом

Доказуемость аксиом

Сообщение Максим Гераськин » 31 янв 2018, 11:59

Н. Хлопотин писал(а) 30 янв 2018, 21:21:Ещё по теме дискуссий на телеканале "СПАС".
Да ещё так самоуверенно говорит.
Всё это очень показательно.


В данном случае Владимир Владимирович, видимо, какое-то исключение из правил (в плане доказанности аксиом). Хотя, в принципе, тему доказанности аксиом можно развить, в плане эмпирики аксиомы обосновываются путем дедуцирования из них проверяемого вывода, в этом смысле математика и ее основы "доказаны", так как она вроде как "работает", т.е. следствия из нее совпадают с экспериментом (примерно).

В рамках такого подхода можно говорить о некоей "доказанности". Собственно, другого экспериментального смысла "доказанности" вообще никакого нет, у любой теории.
Аватар пользователя
Максим Гераськин
Форумчанин
 
Сообщений: 53
Зарегистрирован: 27 апр 2015, 14:47
Откуда: Saint Petersburg, Russia

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Дмитрий » 31 янв 2018, 12:17

Н. Хлопотин писал(а) 30 янв 2018, 21:21:- Все аксиомы в науке можно доказать
- Аксиомы о параллельности доказываются
- Лобачевский доказал, что в бесконечности параллельные прямые пересекаются


Первое и второе — нормально.
Последнее — конечно, косяк.

Максим Гераськин писал(а) 31 янв 2018, 11:59:Хотя, в принципе, тему доказанности аксиом можно развить, в плане эмпирики аксиомы обосновываются путем дедуцирования из них проверяемого вывода, в этом смысле математика и ее основы "доказаны", так как она вроде как "работает", т.е. следствия из нее совпадают с экспериментом (примерно).


Иногда говорят, что "аксиомы недоказуемы". Это типа общеизвестная банальность. Но это же бессмыслица! Если аксиомы недоказуемы, значит, вообще ничего недоказуемо.
Аватар пользователя
Дмитрий
Форумчанин
 
Сообщений: 844
Изображений: 695
Зарегистрирован: 29 апр 2008, 14:41
Откуда: Харьков
Кредо: Ортодокс

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Максим Гераськин » 31 янв 2018, 14:37

Дмитрий писал(а) 31 янв 2018, 12:17:
Н. Хлопотин писал(а) 30 янв 2018, 21:21:- Все аксиомы в науке можно доказать
Иногда говорят, что "аксиомы недоказуемы". Это типа общеизвестная банальность. Но это же бессмыслица! Если аксиомы недоказуемы, значит, вообще ничего недоказуемо.


Доказательства можно поделить на несколько видов

1) Когда нечто следует из посылок (аналитическое доказательство)
2) Когда следствия из этого нечто примерно совпадают с экспериментом ( a la Поппер)


Математические аксиомы не доказаны по (1) но (некоторые) доказаны по (2).
Аватар пользователя
Максим Гераськин
Форумчанин
 
Сообщений: 53
Зарегистрирован: 27 апр 2015, 14:47
Откуда: Saint Petersburg, Russia

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Дмитрий » 31 янв 2018, 14:52

Максим Гераськин писал(а) 31 янв 2018, 14:37:Математические аксиомы не доказаны по (1) но (некоторые) доказаны по (2).


Математические аксиомы вполне доказаны в смысле (1) (формальное аналитическое доказательство), так как любая аксиома является тривиальной теоремой (следствием самой себя).
Аватар пользователя
Дмитрий
Форумчанин
 
Сообщений: 844
Изображений: 695
Зарегистрирован: 29 апр 2008, 14:41
Откуда: Харьков
Кредо: Ортодокс

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Максим Гераськин » 31 янв 2018, 15:08

Дмитрий писал(а) 31 янв 2018, 14:52:Математические аксиомы вполне доказаны в смысле (1) (формальное аналитическое доказательство), так как любая аксиома является тривиальной теоремой (следствием самой себя).


А чем "любое утверждение" отличается от математической аксиомы (любое утверждение доказано в смысле (1) (формальное аналитическое доказательство), так как любое утверждение является тривиальной теоремой (следствием самого себя))?

И таки нет, мой смысл (1) подразумевает соответствие правилу трех, т.е. любое рассуждение состоит из минимум трех суждений, соединенных по правилам.
Аватар пользователя
Максим Гераськин
Форумчанин
 
Сообщений: 53
Зарегистрирован: 27 апр 2015, 14:47
Откуда: Saint Petersburg, Russia

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Н. Хлопотин » 31 янв 2018, 15:15

Максим Гераськин писал(а):Хотя, в принципе, тему доказанности аксиом можно развить, в плане эмпирики аксиомы обосновываются путем дедуцирования из них проверяемого вывода, в этом смысле математика и ее основы "доказаны", так как она вроде как "работает", т.е. следствия из нее совпадают с экспериментом (примерно).
Мне почему-то не нравится использовать слово "доказательство" по отношению к верификации. Ведь две совершенно разные теории могут предсказывать одни и те же факты. Например, и теория эволюции, и общий план творения предсказывают некое единство жизни на Земле. Но ведь из наблюдаемого единства ни одно из объяснений напрямую логически не следует.
Что же касается математики, то не думаю, что тут всё так просто. Я вообще не понимаю, при чём тут эмпирика и какое отношение имеет она к аксиомам. Если бы имела, то математика считалась бы естественной наукой. А так она даже по Попперу нефальсифицируема (как и философия). Вот даже известная проблема демаркации определяется как "проблема поиска критерия, по которому можно было бы отделить теории, являющиеся научными с точки зрения эмпирической науки, от ненаучных предположений и утверждений, метафизики, и формальных наук (логики, математики)".
Дмитрий писал(а):Первое и второе — нормально.
Последнее — конечно, косяк.
А как доказываются аксиомы? Ведь если мне не изменяет память, аксимому о параллельности так и не смогли доказать, хотя над этой проблемой бились многие. У Лобачевского она просто отбрасывается, а её место занимает другая: там уже по крайней мере две прямые можно провести.
Дмитрий писал(а):Иногда говорят, что "аксиомы недоказуемы". Это типа общеизвестная банальность. Но это же бессмыслица! Если аксиомы недоказуемы, значит, вообще ничего недоказуемо.
А по факту выходит, что мы действительно верим почти во всё то, что обычно считается очевидным. Верим в то, что мы не мозги в колбе, например. Насчёт аксиом не знаю, это уже философия.
Дмитрий писал(а):Математические аксиомы вполне доказаны в смысле (1) (формальное аналитическое доказательство), так как любая аксиома является тривиальной теоремой (следствием самой себя).
А не замкнутый ли это круг?
Н. Хлопотин
Форумчанин
 
Сообщений: 512
Зарегистрирован: 09 мар 2017, 18:19
Откуда: Санкт-Петербург

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Н. Хлопотин » 31 янв 2018, 15:58

Ещё по поводу эмпирики. Интересно, если проверяется само утверждение, а не его следствие, то можно ли назвать положительный результат проверки доказательством утверждения? Думаю, да.
Н. Хлопотин
Форумчанин
 
Сообщений: 512
Зарегистрирован: 09 мар 2017, 18:19
Откуда: Санкт-Петербург

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Максим Гераськин » 31 янв 2018, 16:04

Н. Хлопотин писал(а) 31 янв 2018, 15:15:Например, и теория эволюции, и общий план творения предсказывают некое единство жизни на Земле. Но ведь из наблюдаемого единства ни одно из объяснений напрямую логически не следует.


Более того, наблюдаемое единство никак не следует из положений теории эволюции. Касательно "общего плана творения" тоже хотелось бы взглянуть, как получается логическое следствие.

Что же касается математики, то не думаю, что тут всё так просто. Я вообще не понимаю, при чём тут эмпирика и какое отношение имеет она к аксиомам.


Имеет отношение, когда практические задачи решаются, используя математику. Вася положил в пустую корзинку два яблока, Петя в два раза больше, сколько яблок в корзинке? 2 + 2 * 2 = 6. Проводим эксперимент, проверяем - шесть. Все сходится.
Аватар пользователя
Максим Гераськин
Форумчанин
 
Сообщений: 53
Зарегистрирован: 27 апр 2015, 14:47
Откуда: Saint Petersburg, Russia

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Н. Хлопотин » 31 янв 2018, 16:13

Максим Гераськин писал(а) 31 янв 2018, 16:04:
Н. Хлопотин писал(а) 31 янв 2018, 15:15:Например, и теория эволюции, и общий план творения предсказывают некое единство жизни на Земле. Но ведь из наблюдаемого единства ни одно из объяснений напрямую логически не следует.


Более того, наблюдаемое единство никак не следует из положений теории эволюции. Касательно "общего плана творения" тоже хотелось бы взглянуть, как получается логическое следствие.
Эволюционная идея о происхождении от общего предка предсказывает единство. Общий план творения также это предсказывает: ведь и люди создают многие вещи как бы по шаблону. Если честно, я не очень понял ваш вопросю

Имеет отношение, когда практические задачи решаются, используя математику. Вася положил в пустую корзинку два яблока, Петя в два раза больше, сколько яблок в корзинке? 2 + 2 * 2 = 6. Проводим эксперимент, проверяем - шесть. Все сходится.
А что такое "6"? Это всего лишь некоторое обозначение, которое мы дали определённому количеству предметов. 2 - то же самое.
Н. Хлопотин
Форумчанин
 
Сообщений: 512
Зарегистрирован: 09 мар 2017, 18:19
Откуда: Санкт-Петербург

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Максим Гераськин » 31 янв 2018, 16:17

Н. Хлопотин писал(а) 31 янв 2018, 16:13:Эволюционная идея о происхождении от общего предка предсказывает единство


Начем с этого. Ни разу не видел логической цепочки, ведущей к такому выводу. Вы можете сформулировать?

А что такое "6"


"6 яблок" это число и единица измерения. Теория предсказывает число и единицу измерения, эксперимент это подтверждает.
Аватар пользователя
Максим Гераськин
Форумчанин
 
Сообщений: 53
Зарегистрирован: 27 апр 2015, 14:47
Откуда: Saint Petersburg, Russia

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Н. Хлопотин » 31 янв 2018, 16:22

Максим Гераськин писал(а) 31 янв 2018, 16:17:
Н. Хлопотин писал(а) 31 янв 2018, 16:13:Эволюционная идея о происхождении от общего предка предсказывает единство


Начем с этого. Ни разу не видел логической цепочки, ведущей к такому выводу.

Вот пример (один из многих): если у людей и шимпанзе был общий предок, то они похожи (морфологически, генетически).

А что такое "6"


"6 яблок" это число и единица измерения. Теория предсказывает число и единицу измерения, эксперимент это подтверждает.
Не понял. 6 - это число, обозначение некоторого количества. 2 - то же. 2+4=6 - это истина. Если проверять эту истину, то никакого нового знания мы не получим. Ведь если 6 яблок - это столько же яблок, сколько букв в последовательности "абвгде", то мы при проверке мы получим очевидную истину "6=6".
Н. Хлопотин
Форумчанин
 
Сообщений: 512
Зарегистрирован: 09 мар 2017, 18:19
Откуда: Санкт-Петербург

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Дмитрий » 31 янв 2018, 16:29

Максим Гераськин писал(а) 31 янв 2018, 15:08:А чем "любое утверждение" отличается от математической аксиомы (любое утверждение доказано в смысле (1) (формальное аналитическое доказательство), так как любое утверждение является тривиальной теоремой (следствием самого себя))?


Отличается тем, что любое утверждение не обязательно является аксиомой.

Максим Гераськин писал(а) 31 янв 2018, 15:08:И таки нет, мой смысл (1) подразумевает соответствие правилу трех, т.е. любое рассуждение состоит из минимум трех суждений, соединенных по правилам.


Никакого "правила трех" в формальной логике не существует, это произвольная выдумка. Но, даже если так, то тривиальное рассуждение (A => A), нетрудно усложнить до любого числа звеньев ( A => A&(2*2=4) => A ).
Аватар пользователя
Дмитрий
Форумчанин
 
Сообщений: 844
Изображений: 695
Зарегистрирован: 29 апр 2008, 14:41
Откуда: Харьков
Кредо: Ортодокс

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Н. Хлопотин » 31 янв 2018, 16:31

Если мы бы обозначили шесть как "е", 2 как "б", 4 как "г", то утверждение "б+г=е" было бы истинным. Как бы мы не обозначали, смысл останется тем же. Это абсолютная истина, не зависящая ни от каких яблок.
Н. Хлопотин
Форумчанин
 
Сообщений: 512
Зарегистрирован: 09 мар 2017, 18:19
Откуда: Санкт-Петербург

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Максим Гераськин » 31 янв 2018, 16:32

Н. Хлопотин писал(а) 31 янв 2018, 16:22:...


Интересная беседа, но уходим далеко в offtop.
Аватар пользователя
Максим Гераськин
Форумчанин
 
Сообщений: 53
Зарегистрирован: 27 апр 2015, 14:47
Откуда: Saint Petersburg, Russia

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Максим Гераськин » 31 янв 2018, 16:37

Дмитрий писал(а) 31 янв 2018, 16:29:Никакого "правила трех" в формальной логике не существует, это произвольная выдумка


Это верно. Я же особо указал, что это мой пункт (1), там подразумевается такая вот штука.

Вы можете как-то иначе строить рассуждения, например, считать аксиомы доказанными на основе A => A.
Последний раз редактировалось Максим Гераськин 31 янв 2018, 16:46, всего редактировалось 1 раз.
Аватар пользователя
Максим Гераськин
Форумчанин
 
Сообщений: 53
Зарегистрирован: 27 апр 2015, 14:47
Откуда: Saint Petersburg, Russia

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Н. Хлопотин » 31 янв 2018, 16:40

Дмитрий писал(а):Но, даже если так, то тривиальное рассуждение (A => A), нетрудно усложнить до любого числа звеньев ( A => A&(2*2=4) => A ).
Это всё понятно (очевидно, что А => А), но если мы хотим именно доказать А, то откуда же мы его выведем? Из А? Но тогда откуда мы выведем это А?
Н. Хлопотин
Форумчанин
 
Сообщений: 512
Зарегистрирован: 09 мар 2017, 18:19
Откуда: Санкт-Петербург

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Максим Гераськин » 31 янв 2018, 16:40

Дмитрий писал(а) 31 янв 2018, 16:29:Отличается тем, что любое утверждение не обязательно является аксиомой.


Это препятствие невелико. Называем суждение "аксиомой", и все.
Аватар пользователя
Максим Гераськин
Форумчанин
 
Сообщений: 53
Зарегистрирован: 27 апр 2015, 14:47
Откуда: Saint Petersburg, Russia

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Дмитрий » 31 янв 2018, 16:42

Н. Хлопотин писал(а) 31 янв 2018, 15:15:А как доказываются аксиомы? Ведь если мне не изменяет память, аксимому о параллельности так и не смогли доказать, хотя над этой проблемой бились многие. У Лобачевского она просто отбрасывается, а её место занимает другая: там уже по крайней мере две прямые можно провести.


Разумеется, аксиому параллельных невозможно доказать в системе без аксиомы параллельных. Те есть данная аксиома является независимой от остальных. В эвклидовой же геометрии она вполне доказана.

Н. Хлопотин писал(а) 31 янв 2018, 15:15:
Дмитрий писал(а):Математические аксиомы вполне доказаны в смысле (1) (формальное аналитическое доказательство), так как любая аксиома является тривиальной теоремой (следствием самой себя).
А не замкнутый ли это круг?


Нет, это тривиальное правило тождества. Если мы не считаем доказанными аксиомы, значит мы не считаем доказанным вообще ничего. В любом смысле понятия "доказательства". В смысле формального вывода: доказательство — это последовательность утверждений, которые правильно связанны правилами логического вывода, начинается с аксиом, и заканчиваются доказываемым (теоремой). В таком смысле каждая аксиома является теоремой. А если в простом смысле "убедительного рассуждения", тогда длинное рассуждение, основанное на посылках, конечно, не больше убедительно, чем сами посылки.
Аватар пользователя
Дмитрий
Форумчанин
 
Сообщений: 844
Изображений: 695
Зарегистрирован: 29 апр 2008, 14:41
Откуда: Харьков
Кредо: Ортодокс

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Дмитрий » 31 янв 2018, 16:45

Н. Хлопотин писал(а) 31 янв 2018, 16:40:Это всё понятно (очевидно, что А => А), но если мы хотим именно доказать А, то откуда же мы его выведем? Из А? Но тогда откуда мы выведем это А?


Утверждение A именно доказано в рамках системы аксиом, содержащих A. Выведем мы его из A.
Аватар пользователя
Дмитрий
Форумчанин
 
Сообщений: 844
Изображений: 695
Зарегистрирован: 29 апр 2008, 14:41
Откуда: Харьков
Кредо: Ортодокс

Re: Дискуссия с атеистом на телеканале "СПАС"

Сообщение Н. Хлопотин » 31 янв 2018, 16:48

Дмитрий писал(а):Разумеется, аксиому параллельных невозможно доказать в системе без аксиомы параллельных. Те есть данная аксиома является независимой от остальных. В эвклидовой же геометрии она вполне доказана.
Вы тривиальное рассуждение называете доказательством? Может быть, оно так и называется, только вот что оно доказывает? 2+2=4, потому что 2+2=4? Сюда можно что угодно подставить, но не факт, что А будет истинным. Ложь => ложь тоже истинно.
Дмитрий писал(а):А если в простом смысле "убедительного рассуждения", тогда длинное рассуждение, основанное на посылках, конечно, не больше убедительно, чем сами посылки.
Но если посылки истинны, то и вывод истинен, если логика соблюдена. Разве не так?
Дмитрий писал(а):Утверждение A именно доказано в рамках системы аксиом, содержащих A. Выведем мы его из A.
То же самое. 2+2=4 истина? Мы утверждаем, что да? А где доказательства? Потому что 2+2=4? А почему? И так до бесконечности...
Н. Хлопотин
Форумчанин
 
Сообщений: 512
Зарегистрирован: 09 мар 2017, 18:19
Откуда: Санкт-Петербург

След.

Вернуться в Борьба вольным стилем

Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

Golden Time-Золотое Время. История, религия, наука