Итак, для начала простой типа парадокс.

Три коробки.

Представим себе что игроку предложено сделать выбор из 3-х одинаковых коробок. Известно, что только в одной из них лежит приз, остальные пустые. Таким образом, вероятность получить приз составляет 1/3. Но вот, ведущим предлагается дополнительное условие и шансы несколько увеличиваются. После того как игрок сделал выбор, взяв одну из коробок, она не открывается, но ведущий должен открыть пустую коробку из тех, что остались, и предложить еще выбрать: оставить ту, что уже взял, или поменять. Итак, теперь перед игроком 2 коробки, в одной из них приз.

Спрашивается: как должен действовать игрок, имеет ли смысл делать обмен, и каковы будут его шансы на выигрыш, при оптимальном поведении?

[Снеговой Павел]

Итак, для начала простой типа парадокс.

По-моему у Мартина Гарднера рассматривается, а также в фильме "Двадцать одно". Далее умолкаю...

А вот это уже посложнее:

Парадокс двух конвертов

Представим себе такую ситуацию: игроку на выбор предложено 2 внешне неразличимых конверта с деньгами, причем точно известно, что в одном из конвертов в 2 раза больше денег, чем во втором. Игрок может открыть один из конвертов и пересчитать имеющуюся в нем сумму денег. После чего он может принять решение: оставить эту сумму себе, или поменять конверт. Спрашивается, как должен действовать игрок для достижения оптимального результата? Применим обычную методику расчета математического ожидания выигрыша:

Предположим, игрок обнаружил в конверте некоторую сумму S. В случае, если он оставляет ее себе мат. ожидание выигрыша, очевидно и равно S (сумма S с вероятностью 1)

Теперь рассмотрим случай смены конверта. С равной вероятностью (1/2) в другом конверте окажется сумма или в 2 раза большая, или в 2 раза меньшая. Посчитаем мат.ожидание:

Итак, мы получили:

То есть в случае обмена мат.ожидание выигрыша больше.
Отсюда следует странный вывод: конверт выгодно менять. Почему вывод странный? Мы получили, что менять надо в любом случае, независимо от результатов вскрытия и наблюдаемой суммы. Таким образом получается, что только взяв в руки конверт, и даже не открывая его, уже можно решить: "выгодно менять". Ведь если бы мы его открыли, то получили бы такой вывод точным расчетом мат ожидания, так что и открывать не надо, ничего же не поменяется от знания суммы. Особенно забавно представить двух игроков, которые сначала разобрали конверты, открыли их (в тайне друг от друга) и теперь каждый думает что обмен ему выгоден. Итак, в чем тут подвох?

Итак, для начала простой типа парадокс.
Спрашивается: как должен действовать игрок, имеет ли смысл делать обмен, и каковы будут его шансы на выигрыш, при оптимальном поведении?

Очевидно, сначала, в одном случае из трёх игрок угадает, а в двух не угадает, при открытии же одной пустой коробки, при перемене выбора, игрок угадывает в том случае, если не угадал сначала, т.е. если поменяет, выиграет в двух случаях из трёх.

Парадокс двух конвертов

Честно говоря, не очень понял парадокс. Величины, обозначенные M_change и M_{not change} не являются математическими ожиданиями выигрыша. Как мне кажется (пока думал, в очередной раз понял, что ум, особенно мой , - штука ненадёжная, так что лучше сказать, "кажется" ), в парадоксе, одна задача подменяется другой. Т.е. ситуация, когда дают два конверта, и, очевидно, если мы ничего не знаем о распределении этой случайной величины, не важно какой выбрать, заменяется на ситуацию, когда называют сумму и говорят, либо её бери, либо, случайно, половину или удвоенную. И это разные ситуации. В последнем случае, действительно, выгоднее брать альтернативу. Тогда, действительно, для каждого фиксированного S, M_change и M_{not change} дают соответствующие выбору матожидания выигрыша. Если подумать, становится ясным, что в случае двух конвертов, как бы эти конверты не наполняли, если бы мы выбрали всех, кому, вначале, попалось S денег, нельзя было бы считать вероятности последующего случайного выбора между S/2 и 2S равными и независящими от S. Например, если всем дают пару (1,2) у всех, увидевших 1, M_change=2 и M_{not change}=1, а у всех, увидевших 2, M_change=1 и M_{not change}=2.

в случае двух конвертов, как бы эти конверты не наполняли .... нельзя было бы считать вероятности последующего случайного выбора между S/2 и 2S равными и независящими от S.

Юрий Петрович, ну вы практически всё раскусили, но разрешите еще придраться. Действительно, не существует такого распределения сумм, при котором удвоение или располовинивание всегда происходит с равной вероятностью. Это так. Но является ли это удовлетворительным решением парадокса? Ведь парадокс можно слегка модифицировать так, чтобы и не нужно было равенство вероятностей.

Предположим, что суммы в конвертах отличаются не в 2, а в 10 раз. Закон распределения сумм в парах конвертов зададим самым явным образом, чтобы не подкопаться:

Пара	Вероятность
(1, 10)	1/2
(10, 100)	1/4
(100, 1000)	1/8
...	...
(10n, 10n+1)	1/2n+1
...	...

Сумма всех вероятностей =1, то есть это возможная функция распределения.
Теперь предположим, что открыв конверт игрок обнаруживает сумму S = 10ⁿ; n>0
Значит, произошло одно из двух событий: (10ⁿ, 10ⁿ⁺¹) или (10^n-1, 10ⁿ), их вероятности: 1/2ⁿ⁺¹ и 1/2ⁿ соответственно, сумма этих вероятностей (то есть вероятность происшедшего события) = 3/2ⁿ⁺¹. Условные вероятности (с учетом имеющейся информации) получаются такими:
(10ⁿ, 10ⁿ⁺¹) на руках меньшая сумма - 1/3
(10^n-1, 10ⁿ) на руках большая сумма - 2/3

то есть при смене конверта выигрыш увеличивается в 10 раз с вероятностью 1/3, и уменьшается в 10 раз с вероятностью 2/3.

Отсюда находим мат.ожидание выигрыша при смене конверта:

то есть обмен безусловно выгоден.
В случае же S = 1 (который не рассматривался) выгодность обмена совершенно очевидна.
Итак, здесь опять получилось, что выгодно менять в любом случае независимо от обнаруженной суммы.

Ни доказать, ни опровергнуть.

Известное математическое утверждение из теории множеств, так называемая континуум-гипотеза: Любое подмножество континуума или равномощно континууму, или не более чем счетно. Другими словами: не существует множеств промежуточной мощности между счетной и континуальной. Известно также, что это утверждение не может быть ни доказано, ни опровергнуто в рамках аксиоматики теории множеств.

В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC. // см. википедию

Собственно, вопрос: как это может быть? Невозможность опровергнуть разве не является доказательством?

Для иллюстрации возьмем какое нибудь более простое математическое утверждение, скажем, теорему Ферма. Не существует четверки натуральных чисел: x, y, z >0 ; n>2 таких,что: .
Если бы мы доказали, что это утверждение невозможно опровергнуть, то будет ли это доказательством самой теоремы? Конечно. Если такие числа существуют, то подставив их в уравнение непосредственно убеждаемся в выполнении тождества, и, таким образом опровергаем утверждение. Но это невозможно, как мы доказали. Значит, таких чисел не существует, что собственно и утверждает теорема. Теорема доказана (В предположении, что она неопровержима).

А как же с континуум гипотезой? Доказано, что она неопровержима, значит невозможно предъявить множество промежуточной мощности, так как это было бы опровержением, следовательно таких множеств не существует. Гипотеза доказана. Но она же недоказуема!?

Итак, в чем ошибка?

"Выигрышная" стратегия игры в рулетку

Описанием такой стратегии полон весь интернет. Эта метода, якобы, позволяет стабильно "зарабатывать" играя против казино, "гарантированно" получая стабильный доход. В навязчивой рекламе (а это и есть не что иное как реклама казино) рефреном повторяется "мы не играем, а зарабатываем". Если вы будете играть строго по системе, выигрыш гарантирован.

Итак, что же это за чудо-система?

Ставки делаются на красное/черное, или на чет/нечет. В этом случае по правилам, если игрок угадал, он получает выигрыш равный ставке, если не угадал - теряет ставку. Вероятность угадывания, как водится, чуть меньше 1/2 (с учетом "зеро").

Мы задались целью выиграть 1$ (или другую сумму, тогда ставки умножаются соответственно). Вот алгоритм, который "гарантированно" приводит к результату - это и есть обещанный стабильный доход.

Первым делом ставим 1$. Если угадали - выиграли 1$ и цель достигнута.
Если не угадали (проиграли 1$), ставим 2$. Угадали - цель достигнута, выигрыш составил: 2$ - 1$ = 1$
Если опять не угадали (уже проиграно 3$) ставим 4$ ....
И так далее... Каждый раз после очередного непопадания удваиваем ставку. Как только угадаем общий выигрыш составит 1$, что и требуется. Если мы будем ставить, например, на красное, то последовательность черное+зеро никак не может быть бесконечной, рано или поздно выпадет красное. Стало быть, выигрыш типа гарантирован.

И ведь, наверное, находятся такие деятели, что эту систему воспринимает всерьез, как способ "заработка".

... опять получилось, что выгодно менять в любом случае независимо от обнаруженной суммы.

Юрий Петрович и все участники. Высказывайте любые соображения насчет модифицированного парадокса конвертов. Честно говоря, я и сам не знаю удовлетворительного решения.

Заметим, что предварительное распределение сумм можно четко промоделировать:
Берется пара (1, 10) и бросается монета. Если решка - остановились, если орел - удесятеряем суммы.
Повторяем так до тех пор, пока не выпадет решка.
Полученный расклад и предлагается игроку.

(получается как раз указанная функция распределения)

Игрок не знает конкретных результатов, но знает алгоритм раскладывания.
Далее он открывает конверт (или даже не открывает) и ... опять получилось, что выгодно менять в любом случае.

"Выигрышная" стратегия игры в рулетку

Так оно и есть, только с одной стороны количество фишек у игрока ограничено, а с другой стороны казино ограничивает размер минимальной и максимальной ставки.

... с одной стороны количество фишек у игрока ограничено, а с другой стороны казино ограничивает размер минимальной и максимальной ставки.

В такой ситуации для казино совсем невыгодно ограничивать ставку. А вот у игрока денег ограниченное количество, это да. Рано, или поздно он проиграется так, что весь его "зароботок" вылетает в трубу. Если есть большая сумма, то можно выигрывать 1$ с большой вероятностью. Например, если у игрока 63$, то он их проиграет в случае если не угадает 6 раз подряд (2⁶ - 1 = 63). Вероятность не угадать 1 раз равна (Полей другого цвета + зеро)/37 = 19/37, соответственно вероятность не угадать 6 раз = (19/37)⁶. В противном случае игрок получает 1$, вероятность чего составляет:

Выходит, что игрок получает свой доллар с вероятностью около 98%, но выгодна ли эта игра? Нет, потому что в погоне за долларом он рискует большей суммой.

Мат. ожидание его выигрыша будет :


Как и следовало ожидать - величина отрицательная.

При увеличении имеющейся суммы растет вероятность выигрыша, но увеличивается сумма возможного проигрыша.

Далее он открывает конверт (или даже не открывает) и ... опять получилось, что выгодно менять в любом случае.

Высказывайте любые соображения насчет модифицированного парадокса конвертов.

В принципе, если игрок знает распределение пар сумм в конвертах, ничего удивительного, что открыв одну из сумм, он может оценить вероятности того, является ли она большей или меньшей и посчитать математическое ожидание выигрыша при обмене. Но, распределение пар составлено так, что математическое ожидание выигрыша при обмене всегда больше открываемой суммы. Откуда делается вывод, что любой конверт из пары брать выгоднее. Это парадокс. Где же подвох?

Думал пока не надоело, но вряд ли дам полный ответ. Пока думал, подумалось следующее:

Возражение может быть, например, такое: выигрыш неограничен сверху и его математическое ожидание - бесконечность, следовательно, такая игра нереализуема, а в любой реализуемой, всё же будут ситуации, когда надо будет увиденную сумму оставить [видим максимум], и следовательно, надо будет её увидеть.

Ещё подумалось, что в парадоксе есть тонкое место, связанное с определением выгоды (как и в исходном парадоксе). Когда игроку попадается некоторая пара, выигрышем для него будет выбор большей суммы. ИМХО, это подразумевается до всяких уточнений. Но затем предлагается выбирать сумму, максимизирующую общий выигрыш всех игроков, которые увидели ту же сумму, что и выбирающий. В исходном парадоксе, это, к тому же, сделать невозможно, в отличие от модифицированного. Впрочем, вопрос, что лучше, быть в числе выигравших S, или в компании, где, у 2/3 игроков 1/10S, а у 1/3 - 10S, мне кажется, к теории вероятностей имеет мало отношения.

А потом, до меня по настоящему дошло, что ни меняя выбор, не оставляя его, игрок не может изменить вероятность выигрыша и в модифицированном парадоксе (и у меня вскипел моск).
Действительно, какова вероятность получить 10ⁿ, оставляя первый выбор? Это вероятность того, что либо выпало (10^n-1,10ⁿ) и игрок случайно выбрал 10ⁿ, либо выпало (10ⁿ,10ⁿ⁺¹) и игрок случайно выбрал 10ⁿ, p=(1/2)*(1/2)ⁿ+(1/2)*(1/2)ⁿ⁺¹=3*(1/2)ⁿ⁺², а какова вероятность выбрать 10ⁿ, меняя первый выбор? Это вероятность того, что либо выпало (10^n-1,10ⁿ) и игрок случайно выбрал 10^n-1, либо выпало (10ⁿ,10ⁿ⁺¹) и игрок случайно выбрал 10ⁿ⁺¹, т.е. тоже p=(1/2)*(1/2)ⁿ+(1/2)*(1/2)ⁿ⁺¹=3*(1/2)ⁿ⁺²

Получается, на вид, что группировка игроков по первой выбранной сумме бессмысленна и может рассматриваться как способ подменить правильную оценку вероятности выигрыша ложной, и вероятность выигрыша и даже средний выигрыш (здесь он вообще бесконечный) не зависит от математического ожидания второй суммы при известной первой.

И, напоследок, вот что подумалось: пусть я взял конверт и не открываю его. Какова вероятность, что в нём бОльшая сумма? 1/2. Я открыл и вижу 100, вероятность изменилась? Потом мне говорят: из всех кто открыл 100, у 1/3 во втором конверте 1000, а у 2/3 - 10. А теперь, изменилась? Ну, по крайней мере, если бы всех, открывших 100 собрали, можно было бы договориться всем поменять конверт и поделить выигрыш поровну. А теперь говорят, сколько бы ты ни взял, у 1/3 взявших столько же, во втором конверте в 10 раз больше, а у 2/3 в 10 раз меньше. Конечно, это не повод перекладывать конверты до бесконечности. Ведь выбор пары конвертов уже осуществлён и суммы в них уже не являются случайными величинами. А что касается группировки с другими, увидевшими в первом конверте одинаковую сумму, то она даёт выигрыш для любой суммы только потому, похоже, что выигрыш ничем не ограничен. Это отъем денег у бесконечности.

Как-то так.
Допускаю, что мог сморозить чушь где-то, и, конечно, парадокс строго математически я не разрешил. Может быть, расскажете о известных решениях?

По факту казино ограничивают мин и макс ставки.

По поводу конвертов - так как ты ничего не проигрываем, то поэтому нам и выгодно.

... ничего не проигрываем, то поэтому нам и выгодно.

Насчет выгодности можно не сомневаться, но тут дело в парадоксальности ситуации. Обычный метод расчета максимизации выгоды приводит к взаимопротиворечивым выводам.

Я открыл и вижу 100, вероятность изменилась?

Кстати да, но как раз эту часть можно не считать парадоксальной. Вероятность изменилась. Вероятность, что у меня конверт с большей суммой была 1/2 до открытия, после того как я увидел 100 вероятность стала 2/3 (как и для любой суммы > 1). Вероятность не зависит от суммы (почти), тогда какую дополнительную информацию о вероятности мы получаем? А вот какую: всё дело в единице. Если мы обнаружили 1 - вероятность = 0, если другую сумму - 2/3.

Первоначальная вероятность 1/2 (до открытия) интуитивно понятна, но ее можно получить так:

С вероятностью 1/2 у меня минимальный набор (1, 10), и 1/2, что у меня большая сумма из набора = 1/4
С вероятность 1/4 у меня (10, 100) и 1/2, что большая часть = 1/8
И так далее, всё вместе будет 1/2.

А после открытия уже другой расклад.

Когда игроку попадается некоторая пара, выигрышем для него будет выбор большей суммы. ИМХО, это подразумевается до всяких уточнений.

Вовсе нет. Если целью является просто выбор большей суммы, тогда всё просто. Надо просто увеличить вероятность лучшего выбора. И это вполне реализуемо без всякого парадокса:
Если видим 1$ - вероятность что это лучший вариант = 0 => надо менять.
В случае другой суммы, вероятность = 2/3 => менять не надо.

Если же мы хотим увеличить мат.ожидание выигрыша, то и получаем парадокс.

Нетрудно заметить, что в парадоксальной ситуации распределение сумм таково, что общее мат.ожидание бесконечно. Наверное, это и является причиной парадокса. В случае любого распределения с конечным мат.ожиданием должна получиться некоторая стратегия обмена зависящая от наблюдаемой суммы.

А здесь получается очень интересная ситуация, когда мы должны отказаться решать по предложенным правилам, на том основании, что они не могут быть реализованы в реальности. Вот и ключ к парадоксу

– Мы займемся арифметикой... У вас в кармане два яблока...
Буратино хитро подмигнул:
– Врете, ни одного...
– Я говорю, – терпеливо повторила девочка, – предположим, что у вас в кармане два яблока. Некто взял у вас одно яблоко. Сколько у вас осталось яблок?
– Два.
– Подумайте хорошенько.
Буратино сморщился, – так здорово подумал.
– Два...
– Почему?
– Я же не отдам Некту яблоко, хоть он дерись!
– У вас нет никаких способностей к математике, – с огорчением сказала девочка.


Так что, Буратино тут справился бы легко.

Игрок, конечно, может считать мат.ожидание и прочее, но он должен понимать, что каков бы ни был бюджет игры, совсем по честному вышеописанные правила соблюсти невозможно. В реальности ему столько не дадут.

Аргумент Буратино. Физически нереализумые ситуации не учитываются при расчёте оптимального поведения

Насчет выгодности можно не сомневаться, но тут дело в парадоксальности ситуации. Обычный метод расчета максимизации выгоды приводит к взаимопротиворечивым выводам.

Я мог что-то упустить из рассуждений ранее, но не судите строго.
Мне почему-то видится разгадка парадокса в том, что открыв свой конверт в первом раунде каждый их двух испытуемых получает сумму в абсолютном исчислении, а понятие максимизация выгоды - относительное. Относительное чего? Относительно абсолютной суммы первого раунда А раз первая сумма у каждого разная, то и вся логика максимизации выгоды будет относительна, то есть их будет две.

Если Х получил 100 долл, а Y = 200 долл., то все последующие раунды смены конвертов (а вернее, обмена меж собой) должны в сумме приводить к наиболее выгодным результатам для X и Y относительно именно первой увиденной суммы.

... каждый их двух испытуемых получает сумму в абсолютном исчислении...

Погодите, тут речь идет только об одном игроке. Он строит свою оптимальную стратегию пользуясь обычным методом подсчета мат.ожидания. И его решение, должно было бы зависеть от суммы, а оно как бы не зависит (при рассматриваемых методах подсчета). В том и парадоксальность ситуации.

А раз первая сумма у каждого разная, то и вся логика максимизации выгоды будет относительна, то есть их будет две.

Но, даже если их две (предположим), тогда получается, что эти 2 различные логики, исходящие из различных сумм приводят к одинаковому выводу. Обеим "выгодно" поменяться.